解數(shù)學(xué)題時(shí)， 教師讓學(xué)生掌握解題思維的程序是非常重要的。因此，一個(gè)數(shù)學(xué)教師有必要探索數(shù)學(xué)的解題思維程序，并在解題教學(xué)中盡可能多地做出示范，使學(xué)生對(duì)于解題思維的程序、思維受阻后的迂回及轉(zhuǎn)換有一個(gè)較為清晰的認(rèn)識(shí)，從根本上提高學(xué)生的解題能力及科學(xué)思維素質(zhì)。

我從“釋題”、“分析”、“解題”、 “反思”這四個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)揭示解題的思維程序、一般規(guī)律及其作用。

    一、釋題

    釋題的目的是為了弄清問(wèn)題，教會(huì)學(xué)生從問(wèn)題的敘述入手，觀察揣摩整個(gè)問(wèn)題，仔細(xì)地研究題目的意義，盡可能認(rèn)識(shí)感知問(wèn)題的表向，并指導(dǎo)學(xué)生很好地完成下列工作：

    ①找出問(wèn)題的已知條件和所求；

    ②將問(wèn)題的已知條件和所求分成若干個(gè)部分；

    ③畫(huà)出圖形或列出一些數(shù)據(jù)；

    ④在圖形或數(shù)據(jù)中引入的符號(hào)，并盡可能更多地將已知和所求“標(biāo)”出來(lái)。

    通過(guò)上述的釋題工作，不但能教會(huì)學(xué)生將手頭的“問(wèn)題”弄得盡可能清晰、鮮明，而且教者也在釋題過(guò)程中不知不覺(jué)地向?qū)W生滲透了解題策略中的“具體化原則”，使學(xué)生通過(guò)上述這些具有一般性的工作程序，逐步悟出釋題的真諦——“問(wèn)題解決”的奧妙，常常存在于對(duì)題目的“最初認(rèn)識(shí)”過(guò)程之中。

    二、分析

    全神貫注地進(jìn)行解題的思維程序，是完成解題目標(biāo)的關(guān)鍵之所在，也是培養(yǎng)和提高學(xué)生科學(xué)思維素質(zhì)最有利的時(shí)機(jī)。

    ⑴尋找突破口，并努力向所求靠攏所謂的突破口，常常是指人們?cè)卺岊}中較為敏感的那些因素。所以我們從“問(wèn)題” 的敘述中，努力尋找那些最熟悉最感興趣最多疑最難下手的部分，它們往往便是問(wèn)題的突破口。一般有以下幾種情形：

    ①是“問(wèn)題”已知條件的一部分；

    ②是“問(wèn)題”的所求；

    ③是“問(wèn)題”的圖形；

    ④是“問(wèn)題”中的一個(gè)特殊數(shù)據(jù)或表達(dá)式子。

    我們之所以會(huì)認(rèn)為某部分是問(wèn)題的突破口，是因?yàn)槲覀兪怯纱瞬糠挚上氲较铝袉?wèn)題中的若干個(gè)。

    ①由此可導(dǎo)出一些有用的東西；

    ②由此聯(lián)想到了一個(gè)較為熟悉的定理；

    ③由此聯(lián)想到了一個(gè)較為熟悉的解題方法；

    ④由此聯(lián)想到了一個(gè)較為熟悉的解題規(guī)律；

    ⑤由此聯(lián)想到了某個(gè)解題策略；

    ⑥由此聯(lián)想到了早已解決并能用得上的問(wèn)題；

    ⑦由此能構(gòu)造出一個(gè)有用的圖形、函數(shù)、多項(xiàng)式或其它數(shù)學(xué)對(duì)象。總之，把你所想到的問(wèn)題都找出來(lái)，通過(guò)學(xué)習(xí)篩選并有序地排列，然后再與所求進(jìn)行比較，這一過(guò)程是由突破口向所求靠攏的過(guò)程，也是促使你熟悉解題技能，培養(yǎng)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的過(guò)程。

    ⑵思維受阻后的迂回與轉(zhuǎn)換在由突破口向“問(wèn)題解決”靠攏的過(guò)程中，一帆風(fēng)順地進(jìn)行并不多見(jiàn)，常常會(huì)“卡殼”于某一細(xì)節(jié)之中。此時(shí)，教師想方設(shè)法教會(huì)學(xué)生怎樣從“無(wú)計(jì)可施”的窘境中擺脫出來(lái)，則顯得十分重要。

    思維受阻后的迂回與轉(zhuǎn)換一般要經(jīng)歷如下思考程序：

    ①利用這個(gè)“突破口”可以把所求確定到什么程度？在此基礎(chǔ)上若完成解題目標(biāo)，還需要些什么重要條件？

    ②回到已知中去，能否找到繼續(xù)解決問(wèn)題所必須而原來(lái)并未注意到的重要條件？圖形與已知條件是否充分？能否引入輔助元素而創(chuàng)設(shè)？

    ③是否有繼續(xù)解決問(wèn)題所必須而原來(lái)并不具備的條件？

    ④重新揣摩“所求”。回憶你是否解決過(guò)與其類(lèi)似的問(wèn)題？是否了解解決問(wèn)題的一般方法和規(guī)律？經(jīng)歷了上述幾項(xiàng)思維程序后，仍然不能擺脫困境，還可以考慮如下問(wèn)題：

    ⑤是否考慮了“問(wèn)題”中包括的所有的概念？

    ⑥是否利用或違背了某個(gè)概念的規(guī)律性的東西？

    ⑦解決此問(wèn)題是否另有途徑（重新選擇突破）？

    通過(guò)“分析”這一步，可以看出，設(shè)法啟發(fā)學(xué)生“思維受阻”時(shí)找到應(yīng)采取的策略，正是我們所要達(dá)到的目的之一，這就要求教師在平時(shí)的解題教學(xué)中，不要輕易地丟掉學(xué)生找到的“突破口”，更不要輕易地放棄一個(gè)勇于發(fā)言，而又“啟而不發(fā)”的學(xué)生的某些意見(jiàn)。要知道這恰恰是教師向?qū)W生展現(xiàn)思維受阻后迂回和轉(zhuǎn)換這一思維過(guò)程的最有利時(shí)機(jī)。不要過(guò)分地計(jì)較教學(xué)進(jìn)度，重要的是學(xué)生得到了多少比純數(shù)學(xué)問(wèn)題本身更為重要的東西，即當(dāng)問(wèn)題有所變化，乃至變化較大時(shí)，學(xué)生也能應(yīng)付，這才是解決問(wèn)題的最可貴之處。

    三、解題

    解題是對(duì)釋題、分析加以落實(shí)和驗(yàn)證的過(guò)程。當(dāng)人們抓住了問(wèn)題的主要條件，包括可能成立的解題細(xì)節(jié)，便可進(jìn)入解題這一程序。解題包括兩項(xiàng)工作：

    ①完成釋題、分析中認(rèn)為可行的一切細(xì)節(jié)，并加以完善，解題過(guò)程應(yīng)力求清晰、詳盡規(guī)范；

    ②邊完成解題細(xì)節(jié)，邊用邏輯推理或直觀觀察的方法加以驗(yàn)證。

    解題絕非是釋題、分析的終結(jié)，而常常是“問(wèn)題”的再分析，乃至再釋題的開(kāi)始。經(jīng)過(guò)釋題、分析這兩大環(huán)節(jié)，進(jìn)入解題這一環(huán)節(jié)后，有時(shí)仍然存在某些紕漏乃至謬誤，需要在重新釋題和分析中去解決。這便是 “實(shí)踐認(rèn)識(shí)再實(shí)踐再認(rèn)識(shí)”的認(rèn)知規(guī)律在解題活動(dòng)中的體現(xiàn)。要讓學(xué)生學(xué)會(huì)并掌握這種 “循環(huán)往復(fù)”的解題思維規(guī)律，能在解題受挫時(shí)，回到已知中去尋求新的解題方法。

    四、反思

    學(xué)生常犯的錯(cuò)誤是，當(dāng)他們得到問(wèn)題的解答并很干脆地寫(xiě)下解題步驟時(shí)，他們的思維便松懈了。我們應(yīng)提醒學(xué)生做好以下幾項(xiàng)工作：

    ⑴檢驗(yàn)與改進(jìn)

    ①能否一眼看出答案的正確性？

    ②能否檢驗(yàn)這個(gè)解答？

    ③考慮解題的細(xì)節(jié)，尤其是較冗長(zhǎng)的部分，能否使它盡可能地短些？

    ⑵總結(jié)與應(yīng)用

    ①總結(jié)本題應(yīng)用了哪些知識(shí)？通過(guò)此題的解答，你對(duì)所學(xué)的這些知識(shí)又有了哪些新的認(rèn)識(shí)？

    ②總結(jié)本題的解題方法，找出其規(guī)律性和一般性，并試圖應(yīng)用于其它問(wèn)題。

    ③此題的結(jié)論或整個(gè)命題能否應(yīng)用于解決其它問(wèn)題？

    ⑶引伸與拓廣

    ①能否將此問(wèn)題的所求加以改變？

    ②能否將此題目的條件加以變更得出新的所求？

    ③能否將此題的已知條件和所求進(jìn)行重新組合，得到新的有用的問(wèn)題？

    不難看出，學(xué)生在上述“反思”這一環(huán)節(jié)中，不但可以將手頭的問(wèn)題處理得盡善盡美，而且還可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)認(rèn)識(shí)得更深刻，對(duì)由此派生出來(lái)的新問(wèn)題，新規(guī)律有較清醒的認(rèn)識(shí)。這對(duì)習(xí)題的類(lèi)化、同化，對(duì)學(xué)生掌握解題思維規(guī)律， 都有很大的益處。

    總之，我們利用解題所開(kāi)創(chuàng)的有利時(shí)機(jī)，通過(guò)“釋題、分析、解題、反思”這四個(gè)環(huán)節(jié)，使學(xué)生逐步地掌握解題的思維規(guī)律和程序，通過(guò)解題思維程序的探討和示范，大大地拓展學(xué)生對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的廣度和深度，并賦予學(xué)生極大的認(rèn)識(shí)能力和創(chuàng)造能力。