啟發式教學，是當今實施素質教育，減輕學生負擔，提高數學教學質量的主要方法。而啟發式教學的關鍵則在于教師善于引導、啟發學生主動參與和積極思考，充分發揮老師的主導作用和學生的主體作用。啟發式教學中，教師的作用是外因，是催化劑，其落腳點是引導學生積極思考，并通過獨立嘗試建立新舊知識的聯系，作出猜想或判斷。啟發式教學中的 “引”, 是把教師的“教”和學生的“學”有機地結合起來。本文就啟發式教學中的“引”這個問題，談談自己在教學實踐中獲得的幾點體會。

      一、在定義、定理、公式的教學中“引”

      數學教材涉及許多定義、定理、公式，這些內容都是前人經過長期探索發現總結得到的。在教學中有意識地選擇一些定理、公式，讓學生根據所學的知識去探索、發現、論證，不僅可以讓學生感受到知識的發生過程，而且可以開啟學生的智慧的大門，激發學生學習數學的興趣。

      如初三幾何圓和圓的位置關系，對于定理“相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦”的證明，教材是根據軸對稱的性質來證明的。證明過程學生很難理解，也很難想到。課堂上可把這一問題放手讓學生去探索，使學生在思維不受約束的情況下，根據所學知識得到異于課本且比較簡捷的兩種證法。

     證明1：連接O1A、O1B、O2A、O2B．

     ∵O1A=O1B，O2A=O2B,

     ∴點O1、O2在線段AB的垂直平分線上．

     ∴直線O1O2是AB的垂直平分線．

     證明2：連接O1A、O1B、O2A、O2B.

     ∵O1A=O1B, O2A=O2B , O1O2= O1O2 ,

     ∴△O1AO2≌△O1BO2.

     ∴∠A O1O2=∠B O1O2 .

     ∴O1O2垂直平分AB.

     通過引導學生對證明過程的探索，學生思維有一個質的飛躍。這種飛躍蘊含著自主學習意識的形成。經常如此，學生的思維能力就能逐漸得到培養。

     二、在習題的解答過程中“引”

     數學解題教學中，要引導學生敏銳的觀察力和活躍的靈感。解題后讓學生進行反思和引申，鼓勵學生積極求異和富有創造性的想象，培養學生獨立思考、自主學習的精神。如：學習了用待定系數法求二次函數解析式后,我給同學們配備了一組習題:已知拋物線分別滿足下列條件,求拋物線解析式。

     ⑴拋物線過（-2，-5）, （0，-1）, （2，-1）三點；

     ⑵拋物線頂點為（-2，3 ）且經過點（-3，2 ）;

     ⑶拋物線的對稱軸是直線x=1，最高點縱坐標為3，且經過點（1，0 ）;

     ⑷拋物線經過點（0，0 ）與（12，0 ），最高點的縱坐標是36。

      這組習題應用拋物線y=ax2+bx+c 的對稱軸、頂點坐標公式，對于學生來說完成它是輕而易舉的，且解題過程都是用方程組，解題方法基本相同。如何通過這組習題培養學生獨立思考的意識，提高優化命題的能力呢？我在布置這一組習題時，給學生提出兩個問題：

      ⑴ 解完此組題后,總結解題方法及這組問題的特征。

      ⑵ 是否能不用拋物線對稱軸、頂點坐標公式，求出滿足條件的拋物線解析式？若能，請寫出解法,并對解法進行總結。

      學生通過解決這一組問題，一方面熟練掌握了常規解法，另一方面可以發現不用對稱軸和頂點坐標公式，也可以得到拋物線的頂點坐標，然后利用拋物線頂點式求解，從而使學生的思維能力得以培養。

      三、在“空間與圖形”的教學中“引”

      啟發式教學，就是在教師的引導和點撥下,使學生積極思考并自己先做出判斷的教學方式。與數學的其他分支相比，幾何圖形的直觀形象為學生進行自主探究，發展學生思維能力提供強有力的條件，即使解決簡單的“空間與圖形”問題，也常常需要運用觀察、猜想、操作等各種手段，在借助圖形進行合情推理的過程中，學生能增強探究的好奇心，加深對數學的理解，激發潛在的思維能力，逐步形成獨立思考的意識。如初三幾何弦切角一節，有一例題：  

      如圖：已知AB是⊙o的直徑,AC是弦，直線CE和⊙o切于點C,AD⊥CE,垂足為D,求證:AC平分∠BAD．

      按課堂常規，解此題是找出弦切角所夾的弧所對的圓周角。

      證明：連接BC．

     ∵AB是⊙o的直徑，∴∠ACB=900 .

     ∴∠B+∠CAB=900.

     ∵AD⊥CE,

     ∴∠ADC=900 .

     ∴∠ACD+∠CAD=900 .

     ∵AC是弦，CE切⊙o于點C,

     ∴∠ACD=∠B.

     ∴∠CAD =∠CAB.

     ∴AC平分∠BAD.

      此時若讓學生獨立思考，引導他們進行觀察、猜想，利用已學的知識，學生容易想到切線的性質定理和平行線的性質，從而得到更為簡便的證法。

      證明：連接OC.

     ∵ CE切⊙o于C，

     ∴OC⊥CE.

     ∵AD⊥CE，

     ∴OC∥AD.

     ∴∠1=∠2.

     ∵OC=OA，

      ∴∠1=∠3.

     ∴∠2=∠3.

      ∴AC平分∠BAD.

      學生在探索解題中，能運用舊知識解決新問題且異于課本中的解法，實際就是啟發式教學中的“引”起到的作用。

      四、在“開放性問題”教學中“引”

      開放性的數學問題由于條件或結論或解法的不確定性，解題方法靈活，它不具有定向的解題思路，解題時不但要合情合理，實事求是地分析，而且要把歸納與演繹配合起來，把知覺發現與邏輯推理互相結合起來，把數學能力和心理能力同時發揮出來；同時要對具體問題分析打破常規，進行多項思維，培養學生思維的敏捷性、靈活性和創造性，從而對培養學生的獨立思考能力、刻苦學習的精神起潛移默化作用。例如:在△ABC 中,∠c= 900 ,a、b、c 為△ABC 的三邊，且 a-b=2, b∶c=3∶5,是否存在整數k,使方程x2-2(k＋1) x＋k2+12=0 的兩個實數根的平方和等于△ABC 的斜邊c 的平方？試判斷之。

      分析：對于探索是否存在整數K滿足一定條件的問題，首先假設K的值存在，依條件列出關系，求出K的值，然后再對K 的值進行判斷，最后確定K的取值；如果對求出的所有K的值進行判斷都不符合題意，則就不存在K的值滿足題意。

      a-b=2 a=8 解：依題意得b∶c=3∶5 解得b= 6 a2 +b2=c2 c=10 設存在整數k滿足題意且兩根為x 1 、x2 ，則x1+x2=2(k+1) ，x1.x2=k2+12 ．

      ∴x1 2+x2 2=(x1+x2)2-2x1x2=4(k+1)2-2(k2+12)=100 .

      ∴k2+4k-60=0．

      ∴k=6或k=-10．

      當k=-10時，△=-124<0，當k=6時，△=4>0，

      ∴k=-10舍去。

      ∴存在整數k=6，滿足題意。

      學生通過“開放性問題”探究學習，來獲取知識、提升能力、形成價值觀的學習方式，使學生的能力得到發展，思維習慣得到培養。

      綜上所述，在落實素質教育的實踐中，對學生進行啟發式教學中的“引”，必須充分發揮課堂這一主渠道的作用，激發學生學習的主動性和積極性，引導學生大膽實踐，勇于探索，利用出現的錯誤培養學生堅忍不拔，持之以恒，不怕困難和挫折的頑強意志和良好的人格特征，從而培養學生健康的創新情感和個性品質。