一、要點點擊所謂建模思想，即將具有實際意義的應用問題，通過數學思考方法抽象、轉化為數學模型，以達到問題的解決。我們所學習的各種數學概念、公式、法則、定理、推論等，都是一些具體的數學模型。數學建模是刻畫現實世界本質聯系的重要方法。為使學生掌握建模方法，經歷真正的“做數學”和“用數學”的過程，我們的教科書也力圖采用“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式展開，通過對一個個問題的研討，逐步展開相應內容的學習，分析問題的過程就是建模過程，分析、解決問題的能力就是數學建模能力。

      數學建模的基本思路是：

      二、類型歸納

      初中數學建模方法歸納起來主要有：方程（組）模型、不等式（組）模型、函數模型、三角函數或幾何模型、統計與概率模型等。

      三、典例精析

      1、方程（組）模型：

      例1、張新和李明約到圖書城去買書，請你根據他們的對話內容，求出李明上次所買書藉的原價。

      【解析】通過分析，可知本題的等量關系為：書的八折價+20 元會員卡=原書價-12 元，即可列出方程。

      解：設李明上次購買書籍的原價是x元由題意有0.8x+20=x-12，解得x=160 點評：本題的條件來源于兩位學生的對話，題型新穎，要學會捕捉信息，分析數量關系，巧設未知數，列出方程（組）。

      2、不等式（組）模型：

      例2、某體育館用品商場采購員要到廠家批發購進籃球和排球共100 只，付款總額不得超過11815 元，已知兩種球廠家的批發價和商場的零售價如下表，試解答下列問題：

      （1）該采購員最多可進籃球多少只？

      （2）若該商場把這100 只球全部以零售價售出，為使商場獲得的利潤不低于2580 元，則采購員至少要購買籃球多少只，該商場最多可盈利多少元？

      【解析】解：（1）設采購員最多可購進籃球 x只，則排球是（100-x）只，依題意得：130x+100（100-x）≤11815 解得x≤60.5 ∵x是整數，∴x=60。答：該采購員最多可購進籃球60只。

      （2）由表中可知籃球的利潤大于排球的利潤，因此這100 只球中，當籃球最多時，商場可盈利最多，即籃球60只，此時排球40只。商場可盈利（160-130）×60+（120-100）× 40=2600（元）即該商場可盈利2600元。

      點評：解這類問題，要求既要讀懂題意，更要看懂圖表，獲得正確的信息，理解顯性或隱性的不等關系，通過構建不等式（組）解決問題。在市場經營、生產決策、體育竟技、方案設計、盈虧分析、投資決策等問題中都可考慮轉化為不等式（組）求解。

      3、函數模型：

      例3、正方形ABCD 的邊長為3a，兩動點 E、F 分別從頂點B、C同時開始以相同的速度沿BC、CD運動，與△BCF相應的△EGH在運動過程中始終保持△EGH≌△BCF，對應邊 EG=BC，B、E、C、G在一直線上。

      （1）若BE=a，求DH的長；

      （2）當E點在BC邊上的什么位置時， △DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值。

      解：（1）連結FH，則FH//BE 且FH=BE， Rt △DFH 中，DF=3a-a=2a，FH=a，∠DFH= 90o，所以，DH= a。

      （2）設BE=x，△DHE的面積為y，依題意 y取最小值，△DHE的面積y的最小值為a2。點評：本題中的（2）就是通過構建二次函數模型來完成的。在社會生活中的最大（�。┲�、選擇方案等問題多可用函數模型解決。

      4、三角函數或幾何模型：

      例4，如圖，一艘輪船自西向東航行，在A 處測得東偏北21.3o方向有一座小島C，繼續向東航行60 海里到達B 處，測得小島C此時在輪船的東偏北63.5°方向上，之后，輪船繼續向東航行多少海里，距離小島C最近？（參考數據：sin21.3° ≈ ，tan21.3° ≈ , sin63.5°≈ ,tan63.5°≈2）

      【解析】如圖，過C作AB 的垂線，交直線 AB于點D，得到Rt△ACD與Rt△BCD。設BD=x 海里，在Rt △ BCD 中， CD=x·tan63.5° 在Rt△ACD 中，CD=（60+ x）·tan21.3° ∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°，即2x= (60+x)，解得，x=15 點評：本題的圖形是一個雙直角三角形，是解直角三角形中最常見的基本圖形，它本身就是一個數學模型。實際生活中的測量、航海、邊角余料加工、工程定位、坡比計算等應用題，都涉及一定圖形的性質，常需要建立相應的三角函數或幾何模型求解。

      5、統計與概率模型：

      例5：小華與小麗設計了A、B兩種游戲：游戲A的規則：用3 張數字分別是2、3、4 的撲克牌，將牌洗勻后背面朝上放置在桌面上，第一次隨機抽出一張牌記下數字后再原樣放回，洗勻后再第二次隨機抽出一張牌記下數字，若抽出的兩張牌上的數字之和為偶數，則小華獲勝；若兩數字和為奇數，則小麗獲勝。

      游戲B的規則；用4 張數字分別是5、6、8、 8 的撲克牌，將牌洗勻后背面朝上放置桌面上，小華先隨機抽出一張牌，抽出的牌不放回，小麗從剩下的牌中再隨機抽出一張牌，若小華抽出的牌面上的數字比小麗抽出的牌面上的數字大，則小華獲勝；否則小麗獲勝。請你幫小麗選擇其中一種游戲，使她獲勝的可能性較大，并說明理由。

      解：對游戲A用列表法：

     所有可能出現的結果共有9 種，其中兩數字和為偶數的有5 種，所以游戲A小華獲勝的概率為，而小麗獲勝的概率為，即游戲A 對小華有利，獲勝的可能性大于小麗。對游戲B用列表法：

      所有可能出現的結果共有12 種，其中小華抽出的牌面上的數字比小麗大的有5 種；根據游戲B的規則，當小麗抽出的牌面上的數字與小華抽到的數字相同或比小華抽到的數字小時，則小麗勝，所以游戲B小麗獲勝的概率為，即游戲B對小麗有利，獲勝的可能性大于小華。

      點評：對游戲規則公平性的研究，實際上是事件發生可能性的一種應用，有利于培養同學們公平、公正的態度，形成正確的世界觀。對于題目中出現擲骰子、玩撲克、摸球等游戲及其他隨機事件時，可利用概率這一數學模型解決，在求概率時，一般要先列表或畫樹狀圖，從而直觀得到概率。

      數學建模思想在日常生活中的應用很廣，只要同學們夯實數學基礎，關注社會熱點，留心身邊的數學，掌握所學的各種數學模型的特征與本質，就一定能熟練靈活地應用它們解題。